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Introdução à Aritmética Binária

Para qualquer pessoa acostumada com as convenções aritméticas que aprendemos desde a infância, não é difícil realizar cálculos no sistema decimal. Aprendemos a contar de 1 a 10, embora o correto seria de 0 a 9, no entanto ensinar um símbolo representativo de“nada”para uma criança pode ser um tanto quanto abstrato. Nos nossos primeiros anos crescemos, aprendemos novos números, e esquecemos o quão fácil se tornou trabalhar com eles depois de tanta experiência, aprendizado e erros. Por esses motivos trabalhar com uma nova base talvez não seja tão simples quanto parece, acredite, eu não fui uma exceção. Mas também não é tão complicado quanto parece ser. Com a invenção de sistemas digitais e circuitos integrados, outro sistema que se mostrou elementar em meio a tantas criações, foi o sistema de numeração binário. Zero e um.

Antes que comecemos a lidar com a aritmética propriamente dita, quero relembrar como a aritmética nesta base surgiu e porque é fundamental nos dias de hoje. O primeiro registro deste sistema com propósitos aritméticos se deu através de um matemático, filósofo e cientista, Gottfried Wilhelm Leibniz. Através do seu artigo publicado "Explication de l'Arithmétique Binaire", Lebniz contribuiria para os sistemas que utilizamos hoje. A ideia da aritmética binária, de base 2, é muito simples. Em vez de realizarmos progressões por dezenas, realizaríamos progressões binárias, já que se mostravam mais fáceis de serem feitas, no entanto, não são tão práticas quanto o método que estamos acostumados a utilizar para realizar grandes cálculos. Porém, um estudo básico sobre circuitos integrados, garante que se saiba que os mesmos são baseados em tensões. Presença e ausência, ligado ou desligado. O funcionamento desses circuitos utilizando a notação decimal seria inviável pois acarretaria em imprecisões na representação das voltagens em transistores, componentes fundamentais dos processadores. Porém, com o sistema binário, 1 e 0, se parece mais lógico.

                                      

Eis que Leibniz tinha em sua mente o seguinte pretexto
“Para se realizar a
aritmética binária você precisa saber as seguintes convenções”

0 + 1 = 1                                                                                    0 x 0 = 0
1 + 0 = 1                                                                                    1 x 0 = 0
0 + 0 = 0                                                                                    0 x 1 = 0
1 + 1 = 0 e vai um para o binário seguinte                            1 x 1 = 1

Realmente estamos acostumados a usar a progressão por dezenas de forma automática, portanto, 1, 10, 100, 1000, etc, são progressões simples. Já se utilizarmos o sistema binário, a progressão seria por 2 e não 10. Nada de surpreendente, correto?



Nos sistemas digitais cada digito binário é chamado de bit, binary digit. 8 bits correspondem a 1 Byte.



E como sabemos que 1 em decimal corresponde a 1 em binário, que 2 corresponde à 10, 3 corresponde à 11, e assim por diante? Lembre-se dos princípios de Leibniz. Para isto, basta somar 1 ao resultado da soma anterior. Na dúvida, você pode conferir na tabela

0 + 0 = 0(zero)
0 + 1 = 1 (um)
1 + 1 = 0 e vai um, portanto 10(dois)
10 + 1 = 11(três)
11 + 1 = zero e vai um, zero e vai um, portanto, 100(quatro)



E assim sucessivamente. Fácil, não é?

Transformação de bases

Vamos a cereja do bolo. Transformações entre bases podem ser realizadas através de métodos muito simples. Para se fazer a conversão de um número binário para o seu equivalente em decimal utilizamos o que é chamado, método polinomial ou posicional.

A fórmula de conversão pelo método polinomial se dá da seguinte forma:

Note que os expoentes são estabelecidos da direita para esquerda.

 

110001 = 1.25+1.24+0.23+0.22+0.21+1.20
1.32+1.16+0.8+0.4+0.2+1.1= 32+16+0+0+0+1 = 49

[embed]https://www.youtube.com/watch?v=DzRyXKq7I10[/embed]

 

Para converter um valor decimal para binário basta dividir o número pela base na qual você deseja converter o valor em decimal, pelo método das divisões sucessivas. Vamos utilizar o número 50 como exemplo para ser convertido para binário

50÷2 = 25, resta 0
25÷2 = 12, resta 1
12÷2 = 6, resta 0
6÷2 = 3, resta 0
3÷2 = 1, resta 1
1÷2 = 0, resta 1

Uma observação importante é que neste método, o resto das divisões devem ser postos de forma crescente e não decrescente, ficando assim, 110010 e não 010011.

E para lidar com números fracionários? Não existe mistério no método. A diferença da parte inteira para a parte fracionária seria que, em vez de dividir, multiplicamos pelo valor da base desejada até zerarmos a parte fracionária. Existem exceções, onde você pode entrar em sucessivas multiplicações, porém você, ou seu professor, podem estabelecer o número de casas desejadas depois da vírgula.

Usemos o valor 50,828125 como exemplo:

Já que sabemos o resultado da parte inteira, nos resta calcular o valor da parte fracionária.
0,828125×2 = 1,65625
0,65625×2 = 1,3125
0,3125×2 = 0,625
0,625×2 = 1,25
0,25×2 = 0,5
0,5×2 = 1,0

Observe que após acharmos o resultado da multiplicação, só devemos fazer a próxima multiplicação com a parte fracionária, e não com a inteira.

Inteiro: 50                      Fração: 828125
parte inteira = 1            parte fracionária: 1
parte inteira = 1            parte fracionária: 1
parte inteira = 0            parte fracionária: 0
parte inteira = 0            parte fracionária: 1
parte inteira = 1            parte fracionária: 0
parte inteira = 0            parte fracionária: 1

Resultado: 50,828125 = 110010,110101

Diferente da parte inteira, a ordem dos binários se dá de forma decrescente na multiplicação.

[embed]https://www.youtube.com/watch?v=WZ9EQTtdalc[/embed]

 

Bem, agora você já sabe o mínimo de binário. Em próximos artigos vamos lidar com questões mais complexas do sistema em agentes computacionais digitais. A notação binária se mostra mais presente nos dias de hoje. Tecnologias necessitam de sua presença, computadores entendem as instruções que damos em linguagem binária. Para qualquer pessoa que deseja aprender sobre computadores e como eles funcionam de forma profunda, saber binário é fundamental.

 

 

 

 

 

 
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